Zlo u zagradama (Analiza I :Nizovi pt1)

Eh s nizovima vec uplovljavamo u vode matematicke analize, teorija nizova je jedna od najvaznijih oblasti a i jedna od osnova za razvoj matematicke analize.Pri nasem bavljenju nizovima govoritcemo o tackama gomilanja, limesima,monotonosti, ogranicenosti i konvergenciji nizova.Samo da napomenem da cemo se baviti beskonacnim nizovima. 

Prvo definisimo niz...                                   PAHULJICE I <3 POONOO :*

Niz:Niz u skupu X je preslikavanje skupa ℕ u skup X.

Nizove obicno pisemo u obliku {a₁,a₂,a₃,...,a_n,...} ili {a₁,a₂,a₃,...} ili skraceno {a_n}_n∈ℕ 
Primjeri nizova :

1.{1,2,3,4,5,.....}={n}_n∈ℕ

2.{1/2,2/3,3/10,4/17,...}={n/(n²+1)}_n∈ℕ

3.{1/2,-1/6,1/12.-1/20,...}={(-1)ⁿ⁺¹/n(n+1)}_n∈ℕ 
Sad cemo navesti 3 vrlo bitna teorema o nizovima.

Teorem 1: Caushie-Kantor 
Neka nam je dat niz zatvorenih umetnutih razmaka  I₁⊃I₂⊃...⊃I_n 
gdje je I_n=[a_n,b_n].

Tada ∃c∈ℝ: c∈I₁ c∈I₂ ...c∈I_n

Ako ∀ɛ>0 ∃n₀∈ℕ:|In₀|<ɛ tada je c jedinstven

Teorem 2: Heine-Borell-Lebesque

Neka {u_α}_α∈ℕ čini otvoreni pokrivač intervala I=[a,b].Tada se iz familije otvorenih intervala može izdvojiti konačno mnogo intervala koji će pokriti I.

Definicija:Tačka gomilanja

Za tačku a kažemo da je tačka gomilanja(gomilista,gomilište) skupa X⊂ℝ  ako se u svakoj epsilon okolini tačke a nalazi beskonačno mnogo članova skupa X.

Teorem 3: Bolzano-Wierstrass

Svaki ograničen beskonačan skup realnih brojeva ima bar jednu tačku gomilanja

I bi broj (Analiza I-Skup realnih brojeva )

Svaka matematicka teorija se sastoji od teorema, definicija,aksioma te osnovnih pojmova.
U nedostatku vremena i prostora ja cu znacenje ovih pojmova navoditi u hodu kada se za njima ukaze potreba(podrobnije pojasnjenje potrazite na netu...osim ako imate stelu kod mene :D), takođe se podrazumjeva poznavanje matematicke simbolike(http://searchdatacenter.techtarget.com/sDefinition/0,,sid80_gci803019,00.html).


Aksiom je "temeljna istina" koja se ne dokazuje i služi kao osnova svake matematičke teorije.
Definicija je sud kojim se nedvosmisleno utvrđuje sadržaj, opseg i doseg nekog pojma.
Teorem je tvrdnja koja se dokazuje na osnovu vec dokazanih tvrdnji,aksioma.
Osnovni pojam je pojam koji se ne definše, vec se uzima kao intuitivno jasan i na osnovu njega definišemo sve ostale pojmove.(bez obzira sta wikipedija kaze skup nije jedini osnovni pojam u matematici)

Eh nakon ovih uvodnih napomena bacimo se na posao.DA bi se bavili analizom prvo moramo definisati skup Realnih brojeva i aksiomatski zasnovati.
ℝ=ℚ∪I
I.Aksiomi sabiranja:
∃+:ℝxℝ→ℝ tako da (x,y)→x+y
1.(∀x,y∈ℝ) x+y∈ℝ (zatvorenost skupa u odnosu na sabiranje)
2.(∀x,y,z∈ℝ) (x+y)+z=x+(y+z) (asocijativnost sabiranja)
3.(∀x,y∈ℝ) x+y=y+x (komutaivnost sabiranja)
4.(∃!0∈ℝ:∀x∈ℝ) x+0=0+x=x (postojanje neutralnog elementa)
5.(∀x∈ℝ ∃!v∈ℝ) x+v=v+x (postojanje inverznog elementa)

Primjetimo da je (ℝ,+)Abelova grupa (o ovome ce biti vise rijeci u kursu algebre)

II.Aksiomi mnozenja:
∃+:ℝxℝ→ℝ tako da (x,y)→x·y
6.(∀x,y∈ℝ) x·y∈ℝ (zatvorenost skupa u odnosu na množenje)
7.(∀x,y,z∈ℝ) (x·y)·z=x·(y·z) (asocijativnost sabiranja)
8.(∀x,y∈ℝ) x·y=y·x (komutaivnost sabiranja)
9.(∃!1∈ℝ:∀x∈ℝ) x·1=1·x=x (postojanje neutralnog elementa)
10.(∀x∈ℝ/{0} ∃!v∈ℝ) x·v=v·x (postojanje inverznog elementa)

Primjetimo da je (ℝ,·)Abelova grupa

11.(∀x,y,z∈ℝ) (x+y)·z=x·z+y·z (distributivnost u odnosu na sabiranje i mnozenje)

Primjetimo da je (ℝ,·,+) Polje (o ovome ce biti vise rijeci u kursu algebre)

III.Aksiomi poretka:
12.(∀x∈ℝ) x≤x (refleksivnost)
13.(∀x,y,z∈ℝ) x≤y ∧ y≤z ⇒ x≤z (tranzitivnost)
14.(∀x,y∈ℝ) x≤y ∧ y≤x ⇒ x=y (antisimetričnost)

Primjetimo da je (ℝ,·,+,≤) Parcijalno uređeno polje

15.(∀x,y∈ℝ) x≤y v y≤x

Primjetimo da je (ℝ,·,+,≤) u kombinaciji s 15. Linearno uređeno polje

16.(∀x,y∈ℝ) x≤y ⇒ x+z≤y+z
17.(∀x,y∈ℝ) x≤y ∧ 0≤z ⇒ x·z≤y·z

18.Aksiom potpunosti:
(∅≠X⊆ℝ,∅≠Y⊆ℝ)(∀x∈X ∧ ∀y∈Y je x≤y)⇒∃c∈ℝ:∀x∈X ∧ ∀y∈Y je x≤c≤y

Time smo aksiomatski zasnovali skup Realnih brojeva.

Analiza (predgovor)

Ovaj kratki kurs Analize je koncipiran tako da steknete uvid u osnove matematicke analize.Pisat cu o njenim najbitnijim oblastima kao sto su teorija nizova, teorija redova, osobinama funkcija jedne promjenljive te o diferencijalnom i integralnom racunu funkcija jedne promjenljive.Mozda cu eventualno ukljuciti u razmatranje funkcionalne redove ,funkcije s vise promjenljivih te difrencijalni i integralni racun funkcija s vise promjenljivih.

So much to do so little time.

Posveceno mojoj pahuljici.

Namjena

Sve u ovom svijetu ima svoju svrhu, pa tako i ovaj blog...njegova svrha je pouka osnovama matematicke analize i algebre tj pouka o tijelu i duši matematike.
Ali kakva bi to kafana bila da nema pokoje kafanske price :)
PS
Brojevi nemaju dušu oni su duša

Svaki pocetak je tezak

kako sam naslov kaze... svaki pocetak je tezak, al hajde da pocenemo