I bi broj (Analiza I-Skup realnih brojeva )

Svaka matematicka teorija se sastoji od teorema, definicija,aksioma te osnovnih pojmova.
U nedostatku vremena i prostora ja cu znacenje ovih pojmova navoditi u hodu kada se za njima ukaze potreba(podrobnije pojasnjenje potrazite na netu...osim ako imate stelu kod mene :D), takođe se podrazumjeva poznavanje matematicke simbolike(http://searchdatacenter.techtarget.com/sDefinition/0,,sid80_gci803019,00.html).


Aksiom je "temeljna istina" koja se ne dokazuje i služi kao osnova svake matematičke teorije.
Definicija je sud kojim se nedvosmisleno utvrđuje sadržaj, opseg i doseg nekog pojma.
Teorem je tvrdnja koja se dokazuje na osnovu vec dokazanih tvrdnji,aksioma.
Osnovni pojam je pojam koji se ne definše, vec se uzima kao intuitivno jasan i na osnovu njega definišemo sve ostale pojmove.(bez obzira sta wikipedija kaze skup nije jedini osnovni pojam u matematici)

Eh nakon ovih uvodnih napomena bacimo se na posao.DA bi se bavili analizom prvo moramo definisati skup Realnih brojeva i aksiomatski zasnovati.
ℝ=ℚ∪I
I.Aksiomi sabiranja:
∃+:ℝxℝ→ℝ tako da (x,y)→x+y
1.(∀x,y∈ℝ) x+y∈ℝ (zatvorenost skupa u odnosu na sabiranje)
2.(∀x,y,z∈ℝ) (x+y)+z=x+(y+z) (asocijativnost sabiranja)
3.(∀x,y∈ℝ) x+y=y+x (komutaivnost sabiranja)
4.(∃!0∈ℝ:∀x∈ℝ) x+0=0+x=x (postojanje neutralnog elementa)
5.(∀x∈ℝ ∃!v∈ℝ) x+v=v+x (postojanje inverznog elementa)

Primjetimo da je (ℝ,+)Abelova grupa (o ovome ce biti vise rijeci u kursu algebre)

II.Aksiomi mnozenja:
∃+:ℝxℝ→ℝ tako da (x,y)→x·y
6.(∀x,y∈ℝ) x·y∈ℝ (zatvorenost skupa u odnosu na množenje)
7.(∀x,y,z∈ℝ) (x·y)·z=x·(y·z) (asocijativnost sabiranja)
8.(∀x,y∈ℝ) x·y=y·x (komutaivnost sabiranja)
9.(∃!1∈ℝ:∀x∈ℝ) x·1=1·x=x (postojanje neutralnog elementa)
10.(∀x∈ℝ/{0} ∃!v∈ℝ) x·v=v·x (postojanje inverznog elementa)

Primjetimo da je (ℝ,·)Abelova grupa

11.(∀x,y,z∈ℝ) (x+y)·z=x·z+y·z (distributivnost u odnosu na sabiranje i mnozenje)

Primjetimo da je (ℝ,·,+) Polje (o ovome ce biti vise rijeci u kursu algebre)

III.Aksiomi poretka:
12.(∀x∈ℝ) x≤x (refleksivnost)
13.(∀x,y,z∈ℝ) x≤y ∧ y≤z ⇒ x≤z (tranzitivnost)
14.(∀x,y∈ℝ) x≤y ∧ y≤x ⇒ x=y (antisimetričnost)

Primjetimo da je (ℝ,·,+,≤) Parcijalno uređeno polje

15.(∀x,y∈ℝ) x≤y v y≤x

Primjetimo da je (ℝ,·,+,≤) u kombinaciji s 15. Linearno uređeno polje

16.(∀x,y∈ℝ) x≤y ⇒ x+z≤y+z
17.(∀x,y∈ℝ) x≤y ∧ 0≤z ⇒ x·z≤y·z

18.Aksiom potpunosti:
(∅≠X⊆ℝ,∅≠Y⊆ℝ)(∀x∈X ∧ ∀y∈Y je x≤y)⇒∃c∈ℝ:∀x∈X ∧ ∀y∈Y je x≤c≤y

Time smo aksiomatski zasnovali skup Realnih brojeva.