Zlo u zagradama (Analiza I :Nizovi pt1)

Eh s nizovima vec uplovljavamo u vode matematicke analize, teorija nizova je jedna od najvaznijih oblasti a i jedna od osnova za razvoj matematicke analize.Pri nasem bavljenju nizovima govoritcemo o tackama gomilanja, limesima,monotonosti, ogranicenosti i konvergenciji nizova.Samo da napomenem da cemo se baviti beskonacnim nizovima. 

Prvo definisimo niz...                                   PAHULJICE I <3 POONOO :*

Niz:Niz u skupu X je preslikavanje skupa ℕ u skup X.

Nizove obicno pisemo u obliku {a₁,a₂,a₃,...,a_n,...} ili {a₁,a₂,a₃,...} ili skraceno {a_n}_n∈ℕ 
Primjeri nizova :

1.{1,2,3,4,5,.....}={n}_n∈ℕ

2.{1/2,2/3,3/10,4/17,...}={n/(n²+1)}_n∈ℕ

3.{1/2,-1/6,1/12.-1/20,...}={(-1)ⁿ⁺¹/n(n+1)}_n∈ℕ 
Sad cemo navesti 3 vrlo bitna teorema o nizovima.

Teorem 1: Caushie-Kantor 
Neka nam je dat niz zatvorenih umetnutih razmaka  I₁⊃I₂⊃...⊃I_n 
gdje je I_n=[a_n,b_n].

Tada ∃c∈ℝ: c∈I₁ c∈I₂ ...c∈I_n

Ako ∀ɛ>0 ∃n₀∈ℕ:|In₀|<ɛ tada je c jedinstven

Teorem 2: Heine-Borell-Lebesque

Neka {u_α}_α∈ℕ čini otvoreni pokrivač intervala I=[a,b].Tada se iz familije otvorenih intervala može izdvojiti konačno mnogo intervala koji će pokriti I.

Definicija:Tačka gomilanja

Za tačku a kažemo da je tačka gomilanja(gomilista,gomilište) skupa X⊂ℝ  ako se u svakoj epsilon okolini tačke a nalazi beskonačno mnogo članova skupa X.

Teorem 3: Bolzano-Wierstrass

Svaki ograničen beskonačan skup realnih brojeva ima bar jednu tačku gomilanja